关于苹果5.1.1固件的下载，首先需要明确的是，苹果公司通常只支持其设备在其最新的几个版本的操作系统上运行。这意味着，对于较旧的iOS版本，如5.1.1，官方已经不再提供直接的支持或下载链接。此外，下载和安装非官方渠道提供的固件存在一定的风险，包括但不限于数据丢失、设备变砖等严重问题。

尽管如此，如果您出于特殊原因（例如参与软件兼容性测试）确实需要找到苹果5.1.1固件进行降级或升级操作，可以尝试以下几种方法：

1. 开发者网站：一些开发者社区或论坛可能会提供旧版iOS固件的下载链接。但是，请注意验证这些资源的安全性和合法性。

2. 备份文件：如果您之前曾经备份过您的设备到iTunes，并且该备份中包含您想要恢复的iOS 5.1.1版本，您可以尝试使用iTunes恢复此备份至您的设备。

3. 专业工具：有一些第三方软件声称能够帮助用户管理iOS设备上的固件版本。然而，在使用这类工具前，强烈建议详细了解其安全性和可能带来的风险。

重要提示：在尝试任何固件更新或降级之前，请确保做好充分的数据备份工作。同时，考虑到安全性和稳定性，建议始终使用官方途径来更新或维护您的iOS设备。

最后再次强调，直接从非官方渠道下载并安装旧版iOS固件具有相当大的不确定性与风险，这不仅可能影响到设备的正常使用，还可能导致个人信息泄露或其他安全隐患。因此，在做出决定前，请务必权衡利弊。